3.1 Limita fce v bodě

Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L existuje okolí bodu a tak, že pro všechna reálná x ≠ a z tohoto okolí náleží hodnoty f(x) zvolenému okolí bodu L.

Zapisujeme:

Pomocí věty o třech limitách dovedeme dokázat jednu důležitou limitu:

Počítání limit nám také velmi usnadní následující věta:

Dalšími důležitými pojmy jsou jednostrané limity:

Funkce f má v bodě a limitu L zleva, jestliže ke každému ε-okolí bodu L existuje levé δ-okolí bodu a tak, že pro všechna reálná x ≠ a z levého δ-okolí bodu a patří funkční hodnoty f(x) ε-okolí bodu L.

Zapisujeme:

Funkce f má v bodě a limitu L zprava, jestliže ke každému ε-okolí bodu L existuje pravé δ-okolí bodu a tak, že pro všechna reálná x ≠ a z pravého δ-okolí bodu a patří funkční hodnoty f(x) ε-okolí bodu L.

Zapisujeme:

  • Limita funkce f v bodě a existuje, právě když existují v bodě a limity zleva a zprava a jsou si rovny. Potom se limita funkce f v bodě a rovná společné hodnotě limit zleva a zprava. Symbolicky lze zapsat:

Nevlastní limity fce v bodě

Funkce f má v bodě a nevlastní limitu +∞, jestliže ke každému číslu K existuje takové δ > 0, že pro všechna reálná x ≠ a z okolí (a-δ, a+δ) bodu a je f(x) > K.

Zapisujeme:

Funkce f má v bodě a nevlastní limitu -∞, jestliže ke každému číslu K existuje takové δ > 0, že pro všechna reálná x ≠ a z okolí (a-δ, a+δ) bodu a je f(x) < K.

Zapisujeme:

Funkce f má v bodě a nevlastní limitu +∞ zleva, jestliže ke každému číslu K existuje takové δ > 0, že pro všechna reálná x ∈ (a-δ, a) je f(x) > K.

Zapisujeme:

Funkce f má v bodě a nevlastní limitu -∞ zleva, jestliže ke každému číslu K existuje takové δ > 0, že pro všechna reálná x ∈ (a-δ, a) je f(x) < K.

Zapisujeme:

Funkce f má v bodě a nevlastní limitu +∞ zprava, jestliže ke každému číslu K existuje takové δ > 0, že pro všechna reálná x ∈ (a, a+δ) je f(x) > K.

Zapisujeme:

Funkce f má v bodě a nevlastní limitu -∞ zprava, jestliže ke každému číslu K existuje takové δ > 0, že pro všechna reálná x ∈ (a, a+δ) je f(x) < K.

Zapisujeme: