4.3 Průběh funkce


Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti:

a) je spojitá v uzavřeném intervalu <a, b>,

b) v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) má derivaci,

c) f(a) = f(b).

Potom existuje v otevřeném intervalu (a, b) aspoň jeden bod c, pro který platí f´(c) = 0.


Lagrangeova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti:

a) je spojitá v uzavřeném intervalu <a, b>,

b) v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) má derivaci.

Potom existuje v otevřeném intervalu (a, b) aspoň jeden bod c, pro který platí


Platí-li f´(x) = 0 pro každé , potom f je konstantní funkce.


Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a, b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a, b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající.


Funkce f má v bodě x0 lokální maximum, existuje-li takové bodu x0, že pro všechna x z platí .

Funkce f má v bodě x0 lokální minimum, existuje-li takové okolí bodu x0, že pro všechna x z platí:.

Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f´(x0 ), pak platí: f´(x0 )=0.


Nechť f´(x0 )=0. Jestliže existuje takové okolí , že v intervalech (x0 -δ,x0 ) a (x0 ,x0 +δ) má f´(x ) různá znaménka, má funkce f v bodě x0 ostrý lokální extrém. Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě x0 lokální maximum, mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě x0 lokální minimum.


Nechť f´(x0 )=0 a nechť existuje v bodě x0 druhá derivace.

Je-li f´´(x0 )<0, má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum, Je-li f´´(x0 )>0, má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum.


Úlohy


4.17 Určete intervaly monotónnosti funkcí:

  1. y = x3 -12x řešení

  2. y = x3 -13

  3. y = 3x4 -8x3 – 48x2

  4. y = x5 -10x3 + 40x

  5. y = 3x4 -4x3 – 36x2

  6. y = 5x6 -6x5 – 15x4 řešení


4.18 Určete intervaly monotónnosti funkcí:

  1. řešení

  2. řešení


4.19 Určete intervaly monotónnosti funkcí:

  1. řešení

  2. řešení


4.20 Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkcí:

  1. y = -x2 + 2x +3 řešení

  2. y = 3x2 - 2x3

  3. y = 2x3 – 3x2

  4. y = -x3 + 3x2 -6x -7

  5. y = (2x + 3)(x2 + x + 1) řešení

  6. y = -x3 +3x2 – 6x -7


4.21 Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkcí:

  1. řešení

  2. řešení


4.22 Na přímce y = 3x – 1 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1, -2]. řešení


4.23 Najděte lokální a globální extrémy fce f: y = x33x + 20 v intervalu <-3; 3>. řešení


4.24 Určete hodnotu konstanty tak, aby funkce měla v bodě lokální extrém. Určete druh extrému. řešení


4.25 Najděte lokální extrémy funkcí v daných intervalech:

  1. řešení

  2. řešení



Funkce f se nazývá konvexní v intervalu I, právě když pro libovolná čísla , která splňují nerovnost x1<x2<x3, platí, že bod [x2, f(x2)] leží pod přímkou procházející body [x1, f(x1)], [x3, f(x3)] nebo na ní.

Funkce f se nazývá konkávní v intervalu I, právě když pro libovolná čísla , která splňují nerovnost x1<x2<x3, platí, že bod [x2, f(x2)] leží nad přímkou procházející body [x1, f(x1)], [x3, f(x3)] nebo na ní.


Funkce f je ryze konvexní v bodě x0, jestliže má v bodě x0 vlastní derivaci f´(x0) a existuje-li takové číslo δ>0, že pro každé platí:

.


Funkce f je ryze konkávní v bodě x0, jestliže má v bodě x0 vlastní derivaci f´(x0) a existuje-li takové číslo δ>0, že pro každé platí:

.


Je-li funkce konvexní v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konvexní v intervalu I.

Je-li funkce konkávní v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konkávní v intervalu I.


Je-li f´´(x0)>0, pak je funkce f v bodě x0 konvexní.

Je-li f´´(x0)<0, pak je funkce f v bodě x0 konkávní.



Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že f´´(x0)>0, pak je funkce f v intervalu I konvexní.

Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že f´´(x0)<0, pak je funkce f v intervalu I konkávní.




Nechť funkce f má v bodě x0 derivaci. Přechází-li v tomto bodě graf funkce f z polohy „pod tečnou“ do polohy „nad tečnou“ nebo naopak, nazýváme bod x0 inflexní bod funkce f .



Je-li bod x0 inflexním bodem funkce f a má-li funkce f v tomto bodě druhou derivaci, pak f´´(x0)=0.



Nechť funkce f má druhou derivaci v každém bodě nějakého δ-okolí bodu x0 a nechť tato druhá derivace f´´(x) má v intervalech a různá znaménka, pak bod x0 inflexní bod funkce f .


Úlohy


4.26 Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní, a určete inflexní body, pokud existují: (řešení Derive)

  1. y = 3x2 - 2x +1

  2. y = -5x2 + 3x -5

  3. y = x3 - 3x2

  4. y = x4 + 2x

  5. y = x4 – x3

  6. y = - x3 + 6x2 +32


4.27 Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní, a určete inflexní body, pokud existují: (řešení Derive)


4.28 Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní, a určete inflexní body, pokud existují: (řešení Derive)


4.29 Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní, a určete inflexní body, pokud existují: (řešení Derive)


Užití derivace při výpočtu limit = L´Hospitalovo pravidlo.


Postup při vyšetřování průběhu funkce:

  1. Definiční obor, funkce lichá, sudá, periodická

  2. Body, ve kterých není funkce definovaná, ale má v nich jednostranné limity, výpočet těchto limit, limity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti

  3. Průsečíky grafu funkce s osami x a y, znaménka funkčních hodnot

  4. Výpočet 1. derivace, nulové body 1. derivace a body, ve kterých neexistuje 1. derivace

  5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti

  6. Výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, ve kterých neexistuje 2. derivace

  7. Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti

  8. Asymptoty

  9. Obor hodnot

  10. Graf funkce


Úlohy


4.31 Vyšetřete průběh funkce:

  1. řešení


4.32 Vyšetřete průběh funkce:

  1. řešení Derive

  2. řešení Derive


4.33 Vyšetřete průběh funkce: . řešení


4.34 Vyšetřete průběh funkce: . řešení


4.35 Vyšetřete průběh funkce: .


4.36 Vyšetřete průběh funkce: .


4.37 Vyšetřete průběh funkce:


4.38 Vyšetřete průběh funkce: